Desarguesov teorem i konstrukcije s nedostupnim točkama

11.11.2020. - Reading time: 23 minutes

U ovom članku istražit ćemo konstrukcije s nedostupnim točkama. Kako bi mogli izvršiti takve konstrukcije potreban nam je Desarguesov teorem koji je važan u različitim područjima matematike. 

Desarguesov teorem

Desarguesov teorem ime je dobio po francuskom matematičaru Girardu Desargesu (1591. - 1661.). On se smatra jednim od osnivača projektivne i nacrtne geometrije.

Teorem. (Desarguesov teorem) Dani su trokuti $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$.

Točke $D\in AB \cap A'B', E\in AC \cap A'C', F\in BC \cap B'C'$ leže na jednom pravcu $o$ ako i samo ako pravci $AA'$, $BB'$, $CC'$ prolaze jednom točkom $O$.

 

 

Najjednostavniji dokaz ovog teorema u euklidskoj geometriji (kako je ovdje i izrečen) je pomoću Menelajevog teorema.

Teorem. (Menelajev teorem) Neka je dan trokut $\triangle ABC$ i točke $D$, $E$, $F$ redom na pravcima $BC$, $CA$, $AB$. Točke $D, E, F$ su kolinearne ako i samo ako za orijentirane duljine vrijedi

$$\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AF}{BF}=1$$.

 

 

Primjenom Menelajevog teorema na trokut $OAB$ i kolinearne točke $A'$, $B'$, $D$, zatim na trokut $OAC$ i kolinearne točke $A'$, $C'$, $E$, te na trokut $OBC$ i kolinearne točke $B'$, $C'$, $F$ dobivamo redom jednakosti

$$\frac{OA'}{AA'}\cdot\frac{AD}{BD}\cdot\frac{BB}{OB}=1 $$

$$\frac{OC'}{CC'}\cdot\frac{CE}{AE}\cdot\frac{AA'}{OA}=1$$

$$\frac{OB'}{BB'}\cdot\frac{BF}{CF}\cdot\frac{CC'}{OC'}=1.$$

Iz toga slijedi

$$\frac{AD}{BD}\cdot\frac{BF}{CF}\cdot\frac{CE}{AE}=1,$$

pa prema Menelajevom teoremu primjenjenom na trokut $\triangle ABC$ i točke $D$, $E$, $F$ slijedi da su točke $D$, $E$, $F$ kolinearne.

Obratno, pretpostavimo da su točke $D$, $E$, $F$ kolinearne. Pokažimo da pravci $AA'$, $BB'$ i $CC'$ prolaze jednom točkom.

Neka je $X = AA' \cap BB'$. Pravci $EF$, $AB$, i $A'B'$ prolaze kroz točku $D$. Uočimo trokute $\triangle BFB'$ i $\triangle AEA'$. Primjenom prethodno dokazanog smjera ovog teorema za te trokute slijedi da su točke $C'$, $C$ i $X$ kolinearne. Prema tome, pravci $AA'$, $BB'$ i $CC'$ se sijeku u točki $X = O$, što je i trebalo dokazati.

 

Desarguesov teorem u projektivnoj geometriji

Projektivna geometrija svakom pravcu dodaje točku koju zovemo beskonačno daleka točka tog pravca. Uvođenjem beskonačno dalekih točki postiže se da se svaka dva pravca sijeku u jednoj točki. Paralelni pravci imaju istu beskonačno daleku točku.

Definicija. Projektivna ravnina $\mathcal{P}$ je uređena trojka $(\mathcal{T},\mathcal{B}, I)$ nepraznih skupova pri čemu elemente skupa $\mathcal{T}$ zovemo \textit{točke}, skupa $\mathcal{B}$ \textit{pravci}, a $I\subseteq \mathcal{T} \times \mathcal{B} $ je binarna relacija koju zovemo \textit{relacija incidencije} (ako je $(T,p)\in I$ kažemo da točka $T$ leži na pravcu $p$ ili pravac $p$ prolazi točkom $T$), za koje vrijedi:

  • (A1) za svake dvije različite točke postoji jedinstven pravac na kojem one leže;
  • (A2) za svaka dva različita pravca postoji jedinstvena točka kojom oni prolaze;
  • (A3) postoje četiri različite točke takve da nikoje tri od njih nisu kolinearne, to jest da nisu sve tri incidentne s nekim pravcem.

Važnu ulogu u projektivnoj geometriji ima princip dualnosti. Neformalno iskazano, princip dulanosti je teorem koji govori kako se iz svake istinite tvrdnje projektivne geometrije ravnine dobiva također istinita, dualna tvrdnja tako da se međusobno zamijene pojmovi "točka" i "pravac". Dualiziranjem neke tvrdnje i njezina dokaza dobiva se dualna tvrdnja i njezin dokaz.

Definicija. Neka su $ABC$ i $A'B'C'$ dva trokuta u projektivnoj ravnini. Kažemo da su ti trokuti centralno perspektivni ako spojnice odgovarajućih vrhova $AA'$, $BB'$ i $CC'$ prolaze jednom točkom, označimo je s $O$, koja se tada naziva centrom perspektiviteta tih trokuta. Dualno, kažemo da su trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ \textit{osno perspektivni} ako su sjecišta odgovarajućih stranica $AB$ i $A'B'$, $BC$ i $B'C'$ te $CA$ i $C'A'$ kolinearne točke. Pravac koji prolazi tim točkama, označimo ga s $o$, naziva se tada os perspektiviteta tih trokuta.

Desarguesov teorem sada možemo iskazati u terminima projektivne geometrije.

Teorem. Ako su dva trokuta centralno perspektivna, onda su oni i osno perspektivni. Dualno, ako su dva trokuta osno perspektivna onda su oni i centralno perspektivni.

Desarguesov teorem ima važnu ulogu u proučavanju projektivnih ravnina, ali se ne može dokazati pomoću aksioma tj, može se dokazati samo za projektivnu ravninu dimenzije veće od 2. Zbog toga se Desarguesov teorem uzima kao aksiom.

Projektivna ravnina je Desarguesova ako Desarguesov teorem vrijedi za bilo koja dva trokuta s različitim vrhovima koji su centralno perspektivni. Dakle, projektivne ravnine mogu se razvrstati na Desarguesove i ne-Desarguesove.

 

Konstrukcije s nedostupnim točkama

Kada izvodimo konstrukciju, za to obično imamo na raspolaganju ograničeno područje (npr. komad papira). Točke i pravci mogu se nalaziti i izvan tog područja. Takve točke nazivamo nedostupnim točkama. Nedostupna točka je zadana pomoću dijelova dvaju pravaca čija produženja prolaze tom točkom, a nalaze se unutar dostupnog područja.

Nedostupni pravac zadaje se pomoću dvije točke na njemu koje su nedostupne.

Konstrukcije s nedostupnim elementima temelje se na Desarguesovom teoremu.

 

Primjer 1.

Spojimo danu dostupnu točku $C$ s nedostupnom točkom $O$ koja je zadana kao sjecište dvaju dostupnih pravaca $p$ i $q$.

 

 

1.način

Odaberemo po volji točku $D$ i nacrtamo dva proizvoljna pravca kroz tu točku. Sjecišta tih pravaca s pravcem $p$ označimo s $A$ i $A'$, a sjecišta s pravcem $q$ označimo s $B$ i $B'$. Povučemo još jedan proizvoljni pravac $o$ kroz točku $D$.

 

 

Povučemo pravce $CA$ i $CB$. Sjecišta pravaca $CA$ i $o$ označimo s $E$, a sjecište pravaca $CB$ i $o$ označimo s $F$.

 

 

Povučemo pravce $EA'$ i $FB'$. Njihovo sjecište označimo s $C'$. Povučemo pravac $CC'$.

 

 

Za trokute $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ točke $D\in AB \cap A'B', E\in AC \cap A'C', F\in BC \cap B'C'$ leže na jednom pravcu $o$ pa prema Desarguesovom teoremu pravci  $p = AA'$, $q = BB'$ i $CC'$ prolaze jednom točkom $O$.

 

 

Pravcem $CC'$ povezali smo dostupnu točku $C$ i nedostupnu točku $O$.

 

2.način

Povučemo proizvoljan pravac $o$. Sjecište pravaca $o$ i $p$ označimo s $E$, a sjecište pravaca $o$ i $q$ označimo s $F$.

 

 

Povučemo pravac $EC$ i $FC$. Sjecište pravaca $EC$ i $q$ označimo s $B$, a sjecište pravaca $FC$ i $p$ označimo s $A$. Povučemo i pravac $AB$. Sjecište pravaca $AB$ i $o$ označimo s $D$.

 

 

Kroz točku $D$ povučemo proizvoljan pravac. Sjecište tog pravca s pravcem $p$ označimo s $A'$, a s pravcem $q$ označimo s $B'$.

 

 

Povučemo pravce $A'F$ i $B'E$. Njihovo sjecište označimo s $C'$. Povučemo pravac $C'C$.

 

 

Isto kao i kod prvog načina, za trokute $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ točke $D\in AB \cap A'B', E\in BC \cap B'C', F\in AC \cap A'C'$ leže na jednom pravcu $o$ pa prema Desarguesovom teoremu pravci  $p = AA'$, $q = BB'$ i $CC'$ prolaze jednom točkom $O$. Dakle, pravcem $CC'$ povezali smo dostupnu točku $C$ i nedostupnu točku $O$.

 

Primjer 2.

Na nedostupnom pravcu $o$ određenom pomoću nedostupnih točaka $E$ i $F$ zadana je nedostupna točka $D$ kao sjecište s dostupnim pravcem $c$. Spojimo točku $D$ s danom dostupnom točkom X.

Budući da su zadane točke $F$ i $E$ nedostupne one su dane dostupnim pravcima $a$ i $a'$ odnosno $b$ i $b'$.

 

 

Označimo sjecište pravaca $b$ i $c$ s $A$, pravaca $a$ i $c$ s $B$, pravaca $a$ i $b$ s $C$ te pravaca $a'$ i $b'$ s $C'$.

 

 

Odaberemo po volji točku $O$ na pravcu $CC'$. Povučemo pravce $BO$ i $AO$. Sjecište pravaca $AO$ i $b'$ označimo s $A'$, a sjecište pravaca $BO$ i $a'$ označimo s $B'$. Povučemo pravac $A' B'$.

 

 

Za trokute $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ pravci $AA'$, $BB'$, $CC'$ prolaze jednom točkom $O$ i točke $D, E\in AC \cap A'C', F\in BC \cap B'C'$ leže na jednom pravcu $o$ pa je prema Desarguesovom teoremu točka $D$ sjecište pravaca $A'B'$ i $AB = c$.

 

 

Dakle konstruirali smo još jedan dostupan pravac koji prolazi nedostupnom točkom $D$. Nedostupna točka $D$ sada je dana s dva dostupna pravca $c$ i $A'B'$.

Time je ovaj problem spajanja dostupne točke $X$ s nedostupnom točkom $D$ sveden na problem iz 1. primjera u kojem je potrebno spojiti dostupnu točku i nedostupnu točku zadanu s dva dostupna pravca.

 

Primjer 3.

Dana su dva nedostupna pravca $p$ i $q$ s po dvije nedostupne točke $A$, $A'$ i $X$, $X'$. Konstruirajmo barem jedan dostupan pravac kroz nedostupno sjecište $O$ pravaca $p$ i $q$.

Nedostupna točka $A$ dana je pravcima $b$ i $c$, a nedostupna točka $A'$ dana je pravcima $b'$ i $c'$. Pravcima su zadane i nedostupne točke $X$ i $X'$, ali te pravce nećemo posebno označavati.

 

 

 Sjecište pravaca $b$ i $b'$ označimo s $F$, sjecište pravaca $c$ i $c'$ označimo s $D$. Sjecište nedostupnog pravca $q$ i pravca $c$ je nedostupna točka $B$. Sjecište nedostupnog pravca $q$ i pravca $c'$ je nedostupna točka $B'$. Pravac $FD$ označimo s $o$.

 

 

Po volji odaberemo točku $E$ na pravcu $o$. Konstruiramo pravac kroz točku $E$ i nedostupnu točku $B$. Želimo povezati dostupnu točku $E$ i nedostupnu točku $B$ koja je sjecište dostupnog pravca $c$ i nedostupnog pravca $q$ određenog pomoću nedostupnih točaka $X$ i $X'$. Takva konstrukcija opisana je u 2. primjeru. Sjecište pravaca $EB$ i $b$ označimo s $C$. Zatim konstruiramo pravac kroz točku $E$ i nedostupnu točku $B'$. Ta konstrukcija se također svodi na konstrukciju opisanu u 2. primjeru. Sjecište pravaca $EB'$ i $b'$ označimo s $C'$. Povučemo pravac $CC'$.

 

 

Za trokute $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ točke $D\in AB \cap A'B', E\in BC \cap B'C', F\in AC \cap A'C'$ leže na jednom pravcu $o$ pa prema Desarguesovom teoremu pravci  $p = AA'$, $q = BB'$ i $CC'$ prolaze jednom točkom $O$.

 

 

Dakle, konstruirali smo dostupan pravac $CC'$ kroz nedostupno sjecište $O$ nedostupnih pravaca $p$ i $q$. Drugačijim odabirom točke $E$ dobivamo drugi pravac koji također prolazi točkom $O$.

 

 

Primjer 4.

Konstruirajmo simetralu kuta dvaju pravaca $p$ i $q$ čije je sjecište nedostupno.

Sjecište pravaca $p$ i $q$ označimo s $O$. Točka $O$ je nedostupna.

 

 

1. način.

Kao u 1. primjeru, odaberemo po volji točku $D$. Konstruiramo dva proizvoljna pravca kroz točku $D$. Sjecišta tih pravaca s pravcem $q$ označimo s $A$ i $A'$, a sjecišta s pravcem $p$ označimo s $B$ i $B'$. Konstruiramo simetrale kutova $\angle OBA$ i $\angle BAO$. Sjecište simetrala označimo s $C$.

 

 

Sada spojimo točku $C$ s nedostupnim sjecištem dvaju dostupnih pravaca $p$ i $q$ kao u 1. primjeru.

 

 

Za trokute $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ točke $D\in AB \cap A'B', E\in AC \cap A'C', F\in BC \cap B'C'$ leže na jednom pravcu $o$ pa prema Desarguesovom teoremu pravci  $p = AA'$, $q = BB'$ i $CC'$ prolaze jednom točkom $O$.

Dakle, pravac $CC'$ prolazi nedostupnom točkom $O$.

Točka $C$ je sjecište simetrala unutarnjih kutova trokuta $OBA$. Pravac $CC'$ prolazi točkom $O$ i točkom $C$ pa je po teoremu o simetralama unutarnjih kutova trokuta za trokut $OBA$ pravac $CC'$ simetrala kuta $AOB$. Dakle, $CC'$ je simetrala nedostupnog kuta između dostupnih pravaca $p$ i $q$.

Uočimo da ovaj problem možemo riješiti i bez primjene Desarguesovog teorema.

 

2. način

Konstruiramo dva proizvoljna pravca. Sjecišta tih pravaca s pravcem $q$ označimo s $A$ i $A'$, a sjecišta s pravcem $p$ označimo s $B$ i $B'$. 

 

 

Konstruiramo simetrale kutova $\angle OBA$ i $\angle BAO$. Sjecište tih simetrala označimo s $C$. Konstruiramo simetrale kutova $\angle OB'A$ i $\angle B'A'O$. Sjecište tih simetrala označimo s $C'$. Povučemo pravac $CC'$.

 

 

Točka $C$ je sjecište simetrala unutarnjih kuteva torkuta $\triangle OBA$, a točka $C'$ je sjecište simetrala unutarnjih kuteva trokuta $\triangle OB'A'$. Trokuti $\triangle OBA$ i $\triangle OB'A'$ imaju zajednički vrh $O$ i zajednički kut $\angle A'OB' = \angle AOB = \alpha$. Prema teoremu o simetralama unutarnjih kutova trokuta, simetrala kuta $\alpha$ prolazi točkama $C$ i $C'$.

Dakle, konstruirali smo dostupne točke $C$ i $C'$ koje određuju simetralu nedostupnog kuta dvaju pravaca $p$ i $q$.

  

Literatura

  •  H.Behnke, F. Bachmann, K. Fladt, H. Kunle, Fundamentals of mathematics: Geometry, The MIT Press, Massachusetts, 1986.
  • R. Casse, Projective Geometry: An Introduction, Oxford University Press, New York, 2006.
  • J. Šiftar, V. Krčadinac, Konačne geometrije, skripta,  PMF-Matematički odsjek, 2013.
  •  Z. Topić, Menelajev teorem i neke primjene, Matematičko-fizički list, 1/253, Zagreb, 2013.
  • Materijali iz kolegija Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca: https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/kmg/materijali/kmg\_predavanja.pdf, Pristupljeno 27.4.2020.
  • Materijali za vježbe iz kolegija Konstruktivne metode u geometriji: https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/kmg/materijali/skripta.pdf, Pristupljeno 27.4.2020.


Citiraj

Novak, S. (11.11.2020.). Desarguesov teorem i konstrukcije s nedostupnim točkama. Sustav. Preuzeto s https://sustav.sino.com.hr/desarguesov-teorem ()

Currently there are no comments, so be the first!