Globalni ekstremi i ispitivanje ekstrema pomoću druge derivacije

08.04.2020. - Reading time: 10 minutes

Ovaj članak poslužio je kao online sat za učenike. Zbog toga članak možda neće biti pregledan na mobilnom uređaju te će neki interaktivni elementi s vremenom prestati raditi.

1. Globalni ekstremi

Do sada ste određivali lokalne ekstreme funkcije. Ako tražimo maksimum ili minimum funkcije na čitavom području definicije, govorimo o globalnim ekstremima.

Definicija.

Za realni broj $M$ kažemo da je globalni maksimum funkcije $f$ ako postoji $x_0 \in \mathcal{D}(f)$ takav da je $f(x_0) = M$ i za svaki $x \in \mathcal{D}(f)$ vrijedi $f(x)\leq M$.

Za realni broj $m$ kažemo da je globalni minimum funkcije $f$ ako postoji $x_0 \in \mathcal{D}(f)$ takav da je $f(x_0) = m$ i za svaki $x \in \mathcal{D}(f)$ vrijedi $f(x)\geq m$.

Mi ćemo promatrati globalne ekstreme za funkcije koje su definirane na segmentu $[a,b]$ i na tom segmentu neprekidne.

Funkcija koja je neprekidna na segmentu postiže i globalni maksimum i globalni minimum. 

Zadatak 1.  U nastavku je prikazano nekoliko grafova funkcija na određenim intervalima. Pomaknite zelenu točku tako da ona bude točka globalnog minimuma, a crvenu točku tako da ona bude točka globalnog maksimuma

a)

b)

c)

d)

Na temelju prethodnih grafova odgovorite na pitanje.

Zadatak 2. Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije $f(x) = x^4-2x^2$ na segmentu $[-2,3]$.

Grafički prikaz

 

Uočimo da nije bilo potrebno provjeravati pomoću predznaka prve derivacije jesu li stacionarne točke zaista točke lokalnih ekstrema jer smo po vrijednostima funkcije vidjeli radi li se o globalnom ekstremu ili ne.

 

Zadatak 3. Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije $f(x) = \frac{x^2}{4-x}$ na segmentu $[-12,2]$.

2. Ispitivanje ekstrema

Stacionarne točke ne moraju biti točke lokalnih ekstrema. Do sada ste ispitivali je li neka stacionarna točka zaista točka lokalnog ekstrema po promjeni predznaka prve derivacije. Ponekad nije jednostavno odrediti predznak prve derivacije u okolini stacionarne točke ili samo želimo odrediti je li stacionarna točka lokalni minimum ili maksimum. Postoji li još jedan kriterij za određivanje karaktera stacionarne točke?

Zadatak 4.  Za zadane funkcije odredite stacionarne točke te ispunite tablicu.

Upute za popunjavanje tablicu

U prvi stupac upisati stacionarne točke od najmanje do najveće.

U stupac karakter točke upisati maksimum ili minimum.

U preostale ćelije upisati znak < ili >.

 

Napomena. Što kada je $f''(x_0) = 0$?

U tom slučaju nam ovaj kriterij ne daje karakter točke te ga trebamo istražiti pomoću predznaka prve derivacije.

Predznak druge derivacije promatrali smo i kod konveksnosti i konkavnosti funkcije.

Ako funkcija $f$ ima u točki $x_0$ lokalni minimum, onda je na nekom intervalu oko točke $x_0$ funkcija konveksna pa je druga derivacija pozitivna na tom intervalu. Vrijedi i obratno, ako za neku stacionarnu točku $x_0$ vrijedi $f''(x_0)>0$, onda je $x_0$ točka lokalnog minimuma.

Slično, ako funkcija $f$ ima u točki $x_0$ lokalni maksimum, onda je na nekom intervalu oko točke $x_0$ funkcija konkavna pa je druga derivacija negativna na tom intervalu. Vrijedi i obratno, ako za neku stacionarnu točku $x_0$ vrijedi $f''(x_0)<0$, onda je $x_0$ točka lokalnog maksimuma.

3. Zadaci

1. Odredi ekstreme funkcije $f(x)=x^4-4x^3$.

2. Nađi najmanju i najveću vrijednost funkcije $f$ na danom intervalu:

    a)  $ f(x) = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} - 6x$ na $[-4,2]$

    b)  $ f(x) = sin 2x - x$ na $[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

3. Odredi realan broj između 0 i 100 takav da razlika kuba tog broja i njega samog bude minimalna.

 Zadaća

Nakon što riješite zadatke provjerite svoja rješenja grafički u nekom programu dinamičke geometrije. Za barem jedan zadatak stavite cijeli postupak zajedno s grafom na Padlet pod svojim imenom (npr. kao sliku, klikom na znak "+" u donjem desnom kutu) .

 

Made with Padlet

 

Currently there are no comments, so be the first!