Konveksnost i konkavnost
24.03.2020. - Reading time: 10 minutes

Ovaj članak poslužio je kao online sat za učenike. Zbog toga članak možda neće biti pregledan na mobilnom uređaju te će neki interaktivni elementi s vremenom prestati raditi.

S obzirom na oblik grafa razlikujemo konveksne i konkavne funkcije. 

Primjer 1. Promotrimo graf funkcije $f(x)=x^2$ i tangentu na taj graf. Pomicanjem točke dodira uvjerite se da je graf funkcije uvijek iznad tangente.

Za funkciju koja ima ovo svojstvo kažemo da je konveksna.

Primjer 2. Promotrimo sada graf funkcije $f(x)=-x^2$ i tangentu na taj graf. Pomicanjem točke dodira uvjerite se da je graf funkcije uvijek ispod tangente.

Za funkciju koja ima ovo svojstvo kažemo da je konkavna.

Napomena. S pojmovima konveksnosti i konkavnosti već ste se susretali u fizici gdje se govori o konveksnim i konkavnim zrcalima i lećama. Konveksna zrcala su ispupčena, dok su konkavna izdubljena. To je idejno suprotno od konveksne i konkavne funkcije u matematici.

Zadatak 1. Pomicanjem točke dodira odredite kakva je funkcija $f(x)=x^3-x$ na intervalima $\left \langle -\infty,0  \right \rangle$ i $\left \langle 0,+\infty  \right \rangle$.

Uočimo da u točki $x_0 = 0$ funkcija prelazi iz konkavne u konveksnu. Takvu točku nazivamo točkom pregiba ili infleksije.

Zaključujemo:

Funkcija $f$ je konveksna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$ ako je njezin graf iznad tangente u proizvoljnoj točki tog intervala.

Funkija je konkavna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$ ako je njezin graf ispod tangente u proizvoljnoj točki tog intervala.

Točka iz domene funkcije u kojoj funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu ili obratno zove se točka pregiba ili infleksije.

Naravno, želimo uvjet kojim možemo odrediti konveksnost i konkavnost funkcije bez crtanja i promatranja odnosa tangente i grafa funkcije.

Zadatak 2. Popunite tablicu pomoću Geogebra apleta ispod tablice. Verzija tablice pogodna za ispis.

Upute za upisivanje u tablicu

Tablicu ima ugrađen editor formula koji razumije i LaTeX naredbe.

 \langle - $\langle$

 \rangle - $\rangle$

 \cup - $\cup$

 \emptyset - $\emptyset$

 \infty- $\infty$

Na temelju tablice pokušajte zaključiti koja je veza konveksnosti i konkavnosti s predznakom druge derivacije.

Drugim riječima, neka na nekom intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$ vrijedi $f''(x) > 0$. To znači da na tom intervalu prva derivacija raste, tj. raste nagib tangente, odnosno raste kut što ga ona zatvara s pozitivnim dijelom x-osi. Za takvu funkciju kažemo da je konveksna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$.

Slično vrijedi za slučaj $f''(x) < 0$. Tada prva derivacija opada, tj. opada nagib tangente i kut što ga ona zatvara s pozitivnim dijelom x-osi. Za ovakvu funkciju kažemo da je konkavna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$. 

Na temelju toga imamo postupak za pronalaženje intervala konveksnosti i konkavnosti.

  1. Odredimo domenu funkcije $f$.
  2. Odredimo drugu derivaciju funkcije $f$.
  3. Riješimo jednadžbu $f''(x)=0$.
  4. Odredimo predznak funkcije $f''$ po intervalima.
    1. Ako je $f''>0$ funkcija je konveksna.
    2. Ako je $f''<0$ funkcija je konkavna.
  5. Točke pregiba su točke iz domene funkcije u kojima dolazi do promjene iz konveksnog u konkavno i obratno.

Primjer 3. Odredimo intervale konveksnosti i konkavnosti te točke pregiba funkcije $f(x)=-x^4+6x^2-2x-3$.

1. Domena funkcije je skup $\mathbb{R}$.

2. Odredimo prvu i drugu derivaciju.

$f'(x)=-4x^3 +12x-2$

$f''(x)=-12x^2+12$

3. Rješenja jednadžbe $f''(x)=0$ su $x_1 = -1$ i $x_2 = 1$.

4. Budući da je $f$ definirana na cijelom $\mathbb{R}$ promatramo intervale $\left \langle -\infty,-1  \right \rangle$ , $\left \langle -1,1  \right \rangle$ i $\left \langle 1,\infty \right \rangle$. Predznake možemo prikazati u tablici.

5. Točke pregiba su $x_1 = -1$ i $x_2 = 1$.

Pogledajete i primjer 10. u udžbeniku (str. 143.)

Zadaci za vježbu

1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke pregiba funkcije:

 a) $f(x) = x^3 - 9 x^2 +24x$

b) $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$

c) $f(x)=x-\sqrt[3]{x-1}$

  

  

  

 

Citiraj

Novak, Siniša (24.03.2020.).Konveksnost i konkavnost. Sustav. Preuzeto s https://sustav.sino.com.hr/konveksnost-i-konkavnost ()