Konveksnost i konkavnost

24.03.2020. - Reading time: 10 minutes

Ovaj članak poslužio je kao online sat za učenike. Zbog toga članak možda neće biti pregledan na mobilnom uređaju te će neki interaktivni elementi s vremenom prestati raditi.

S obzirom na oblik grafa razlikujemo konveksne i konkavne funkcije. 

Primjer 1. Promotrimo graf funkcije $f(x)=x^2$ i tangentu na taj graf. Pomicanjem točke dodira uvjerite se da je graf funkcije uvijek iznad tangente.

Za funkciju koja ima ovo svojstvo kažemo da je konveksna.

Primjer 2. Promotrimo sada graf funkcije $f(x)=-x^2$ i tangentu na taj graf. Pomicanjem točke dodira uvjerite se da je graf funkcije uvijek ispod tangente.

Za funkciju koja ima ovo svojstvo kažemo da je konkavna.

Napomena. S pojmovima konveksnosti i konkavnosti već ste se susretali u fizici gdje se govori o konveksnim i konkavnim zrcalima i lećama. Konveksna zrcala su ispupčena, dok su konkavna izdubljena. To je idejno suprotno od konveksne i konkavne funkcije u matematici.

Zadatak 1. Pomicanjem točke dodira odredite kakva je funkcija $f(x)=x^3-x$ na intervalima $\left \langle -\infty,0  \right \rangle$ i $\left \langle 0,+\infty  \right \rangle$.

Uočimo da u točki $x_0 = 0$ funkcija prelazi iz konkavne u konveksnu. Takvu točku nazivamo točkom pregiba ili infleksije.

Zaključujemo:

Funkcija $f$ je konveksna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$ ako je njezin graf iznad tangente u proizvoljnoj točki tog intervala.

Funkija je konkavna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$ ako je njezin graf ispod tangente u proizvoljnoj točki tog intervala.

Točka iz domene funkcije u kojoj funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu ili obratno zove se točka pregiba ili infleksije.

Naravno, želimo uvjet kojim možemo odrediti konveksnost i konkavnost funkcije bez crtanja i promatranja odnosa tangente i grafa funkcije.

Zadatak 2. Popunite tablicu pomoću Geogebra apleta ispod tablice. Verzija tablice pogodna za ispis.

Upute za upisivanje u tablicu

Tablicu ima ugrađen editor formula koji razumije i LaTeX naredbe.

 \langle - $\langle$

 \rangle - $\rangle$

 \cup - $\cup$

 \emptyset - $\emptyset$

 \infty- $\infty$

Na temelju tablice pokušajte zaključiti koja je veza konveksnosti i konkavnosti s predznakom druge derivacije.

Drugim riječima, neka na nekom intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$ vrijedi $f''(x) > 0$. To znači da na tom intervalu prva derivacija raste, tj. raste nagib tangente, odnosno raste kut što ga ona zatvara s pozitivnim dijelom x-osi. Za takvu funkciju kažemo da je konveksna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$.

Slično vrijedi za slučaj $f''(x) < 0$. Tada prva derivacija opada, tj. opada nagib tangente i kut što ga ona zatvara s pozitivnim dijelom x-osi. Za ovakvu funkciju kažemo da je konkavna na intervalu $\left \langle a,b  \right \rangle$. 

Na temelju toga imamo postupak za pronalaženje intervala konveksnosti i konkavnosti.

  1. Odredimo domenu funkcije $f$.
  2. Odredimo drugu derivaciju funkcije $f$.
  3. Riješimo jednadžbu $f''(x)=0$.
  4. Odredimo predznak funkcije $f''$ po intervalima.
    1. Ako je $f''>0$ funkcija je konveksna.
    2. Ako je $f''<0$ funkcija je konkavna.
  5. Točke pregiba su točke iz domene funkcije u kojima dolazi do promjene iz konveksnog u konkavno i obratno.

Primjer 3. Odredimo intervale konveksnosti i konkavnosti te točke pregiba funkcije $f(x)=-x^4+6x^2-2x-3$.

1. Domena funkcije je skup $\mathbb{R}$.

2. Odredimo prvu i drugu derivaciju.

$f'(x)=-4x^3 +12x-2$

$f''(x)=-12x^2+12$

3. Rješenja jednadžbe $f''(x)=0$ su $x_1 = -1$ i $x_2 = 1$.

4. Budući da je $f$ definirana na cijelom $\mathbb{R}$ promatramo intervale $\left \langle -\infty,-1  \right \rangle$ , $\left \langle -1,1  \right \rangle$ i $\left \langle 1,\infty \right \rangle$. Predznake možemo prikazati u tablici.

5. Točke pregiba su $x_1 = -1$ i $x_2 = 1$.

Pogledajete i primjer 10. u udžbeniku (str. 143.)

Zadaci za vježbu

1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke pregiba funkcije:

 a) $f(x) = x^3 - 9 x^2 +24x$

b) $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$

c) $f(x)=x-\sqrt[3]{x-1}$

  

  

  

 


Filip Jakovina
Komentar
Written by Filip Jakovina on 22.04.2020.

Naučio sam što je konkavna, a što konveksna funkcija, što su točke pregiba i kako se konkavnost i konveksnost određuje preko druge derivacije. Imam poteškoće sa raspoznavanjem konveksnosti i konkavnosti i određivanjem derivacije kod kompleksnih funkcija. U raspoznavanju mi pomaže što je u matematici obrnuto od fizike.

Ana  Novković
Komentar
Written by Ana Novković on 21.04.2020.

Naučila sam što je konkavna, a što konveksna funkcija, te sam naučila pojam infleksije. Jedino što me malo buni jest to da smo se sa ovim pojmovima već susreli u fizici a tada sam pamtila da u konKAVnom zrcalu mogu staviti kavu (zbog oblika) , a u konveksno ne mogu, iako to ne mogu primijeniti i na funkcije. Ali, barem se mogu sjetiti te mnemotehnike i zapamtiti da je u matematici obrnuto nego u fizici.

Viktor Mladar
Komentar
Written by Viktor Mladar on 13.04.2020.

Naučio sam što je konkavnost i konveksnost funkcije, što su točke pregiba i kako odrediti je li funkcija konkavna ili konveksna pomoću druge derivacije. Još imam problema sa miješanjem konveksnosti i konkavnosti i izračunavanjem derivacija kod kompliciranih funkcija. To se može riješiti vježbom.

Mislav Brnetić
Komentar
Written by Mislav Brnetić on 11.04.2020.

Naučio sam što je konveksnost i konkavnost, točke pregiba i primjer korištenja 2. derivacije. Imam teškoća sa zadnjim primjerom, čini mi se da bi točka pregiba morala biti u x = 1, s obzirom da tamo prelazi iz konkavne u konveksnu te je u domeni. Strategija koja mi pomaže riješiti problem je da je konkavnost i konveksnost obrnuta od fizike, odnosno da će se kava proliti iz konkavne funkcije.

SNovak Admin
Written by SNovak on 11.04.2020.

Tako je, $x=1$ je točka pregiba za funkciju $f(x)=x-\sqrt[3]{x-1}$, označio sam krivi odgovor kao točan, sada je popravljeno, hvala.

Ana Vajić
Komentar
Written by Ana Vajić on 07.04.2020.

Naučila sam što su konkavnost i konveksnost, što su točke pregiba/infleksije, te kako odrediti je li funkcija na nekom intervalu konkavna ili konveksna. Malo me buni to što su nazivi obrnuti nego u fizici, te nekad griješim u deriviranju složenijih funkcija, ali to će sjesti uz još malo vježbe.

Lucija Galić
Komentar
Written by Lucija Galić on 07.04.2020.

Naučila sam što su konveksnost, konkavnost i točke infleksije. Što se tiče poteškoća, često zaboravim napraviti derivaciju 2. stupnja. Konveksnu i konkavnu funkciju pamtim po tome što konVeksna ima slovo V i u obliku je slova V, dok je konkavna suprotna.

Eli Pevec
Komentar
Written by Eli Pevec on 06.04.2020.
  1. Naučila sam što je konveksnost, što konkavnost i što su točke pregiba.
  2. Imam teškoće s razlikovanjem konkavnosti i konveksnosti te s rješavanjem malo kompliciranijih funkcija.
  3. Budući da je u fizici konkavna funkcija ona koja ima oblik šalice kave, u matematici je obratno po čemu onda razlikujem konkavnost i konveksnost.
Borna Majerić
Zadaća
Written by Borna Majerić on 05.04.2020.

Naučio sam što je konveksnost i konkavnost funkcije na nekom intervalu, što su točke pregiba te kako ih odrediti. Još se uvijek malo mučim s određivanjem koja je točno funkcija konkavna, a koja konveksna, ali strategija mi je da zapamtim da su konkavnost i konveksnost u matematici suprotne od one u fizici.

Dan Udier
DZ
Written by Dan Udier on 04.04.2020.
  1. Naučio sam razliku između konveksne i konakvne funkcije, što su točke pregiba te kako odrediti na kojim intervalima je funkcija konveksna ili konkavna.
  2. Malo me muči računanje druge derivacije složenih funkcija, na tome sam par puta pogriješio.
  3. Strategija za rješavanje mi je da ne razmišljam o tome kako izgledaju konveksna i konkavna funkcija jer je to u suprotnosti s fizikom i zbunjuje me, nego samo crtam tablicu predznaka i razmišljam da je druga derivacija pozitivna za konevksnu funkciju.
klara.milesevic
Written by klara.milesevic on 04.04.2020.
  1. Naučila sam što je konkavna, a što konveksna funkcija i kako ih odrediti.
  2. Još se mučim jer mi nije sve sijelo na mjesto i to što je konkavno, a što konveksno pošto smo u fizici do sada učili obrnuto.
  3. Moja strategija je da rješavam zadatke te mi se tako razjasne još neke stvari.
S.Caktaš
Dz
Written by S.Caktaš on 03.04.2020.
  1. Naučila sam što su konkavna i konveksna funkcija, točke pregiba i gdje se koristi druga derivacija funkcije.
  2. Još uvijek se malo mučim s pamćenjem konveksnog i konkavnog oblika funkcije te pogotovo da konveksan oblik znači pozitivan predznak druge derivacije, a konkavan negativan. 3.Strategija mi je da se sjetim dol - konveksni oblik - druga derivacija pozitivna, brijeg - konkavni oblik - druga derivacija negativna.
Mia Perkovac
Written by Mia Perkovac on 03.04.2020.

Naučih kako raspoznati konkavnu i konveksnu funkciju, za što služi druga derivacija funkcije, te što je točka pregiba. Greška mi je brzopletost kod rješavanja, te me zbunilo kad je rješenje za granice intervala i točke pregiba bio kompleksan broj. Strategija mi je ispunjavanje tablice kao kod zadataka s prvom derivacijom funkcije.

Matija Roginić
Zadaća
Written by Matija Roginić on 02.04.2020.

Naučio sam pojmove konveksnosti i konkavnosti te točke pregiba i poveznicu s predznakom druge derivacije. Imam još poteškoća oko vizualiziranja, odnosno treba mi vremena dok si predočim interval konveksnosti i konkavnosti. Bilo me zbunilo dok sam rješavao gore navedene primjere, čini mi se da je prvi primjer u tablici pogrešan jer piše da je f''(x) = 6x negativna na intervalu od 0 do +beskonačno. Strategija mi je da se prisjetim funkcije x^2 i - x^2 odnosno takvog oblika u kojem je x^2 konkavna dok je -x^2 konveksna

SNovak Admin
Written by SNovak on 03.04.2020.

Greška u primjeru je sada ispravljena. Hvala.

Lukas Rakić
Dz
Written by Lukas Rakić on 02.04.2020.

Naučio sam što je konkavna, a konveksna funkcija te postupak kojim možemo računski odrediti je li funkcija konveksna ili konkavna . Naučio sam i što je točka pregiba te kako ju odrediti. Kao nekakav problem bih izdvojio to što mi nije jasno kako je u prvoj tablici kod $x^3-x$ za $f''(x)$

SNovak Admin
Written by SNovak on 03.04.2020.

Broj riječi ne bi trebao biti ograničen. Tako da nisam siguran iz kojeg razloga nedostaje dio komentara. Ispričavam se na tome. Prvi puta koristim ovaj sustav za komentare te ga nisam temeljito istestirao. U tablici je bila greška koja je sada ispravljena.

Lukas Rakić
Dz nadopuna
Written by Lukas Rakić on 02.04.2020.

Ne znam zašto mi je više od pola teksta nestalo u komentaru pa ovim putem dodajem što nedostaje: Kao nekakav problem bih izdvojio to što mi nije jasno kako je u prvoj tablici kod x^3-x za f''(x)

Lukas Rakić
Dz nadopuna 2
Written by Lukas Rakić on 02.04.2020.

Ne znam zašto mi stavlja ograničen broj riječi na komentare Kao nekakav problem bih izdvojio to što mi nije jasno kako je u prvoj tablici kod x^3-x za f''(x)

Tvrtko Katavić
Zadaća
Written by Tvrtko Katavić on 02.04.2020.

Naučio sam što znači da je funkcija konkavna, a što da je konveksna na nekom intervalu, kako se određuju interval konveksnosti i konkavnosti te što su točke pregiba. Imam problema s pamćenjem kakva je oblik konveksan, a kakv konkavan i koji predznak druge derivacije određuje konvksnost, a koji konkavnost (kad smo kod toga, mislim da postoji greška u prezentaciji u opisu postupka određivanja intervala konveksnosti i konkavnosti: piše da ako je druga derivacija negativna da je funkcija konveksna i da ako je pozitivna da je konkavna). Moja strategija za rješavanje ovog problema je da zapamtim da se matemetička i fizička konveksnost i konkavnost razlikuju.

SNovak Admin
Written by SNovak on 03.04.2020.

Greška je sada ispravljena. Hvala.

Patrik
Zadaća
Written by Patrik on 02.04.2020.

Kao prvo, super je to što smo mogli pisati LaTeX u kućice. 10/10.

  1. Nove stvari koje sam naučio: pojmovi konveksnosti/konkavnosti u matematici i fizici su obrnuti, treba dugo vremena da se naviknem na to, ako u beskonačnosti izgleda kao neka f(x) = C to znači da ona nema točke pregiba
  2. Stvari s kojima još imam poteškoća: određivanje je li neka funkcija konkavna/konveksna po njezinom obliku
  3. Strategija koja mi pomaže riješiti problem: Ako funkcija izgleda kao dol, onda je f''&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;0, i zove se konveksna. Ako izgleda kao brijeg, sve je obrnuto.
Tarik
DZ
Written by Tarik on 02.04.2020.

Naučio sam razlikovati konkavne i konveksne funkcije, određivanje intervala konkavnosti i konveksnosti te da druga derivacija funkcije govori o konveksnosti i konkavnosti funkcije. Nemam problema i strategija kojom se koristim je navedeni postupak u prezentaciji.

Irina
Domaća zadaća
Written by Irina on 02.04.2020.
  1. Što sam naučila? Naučila sam što je konkavna, a što konveksna funkcija u matematici. Također sam saznala što je točka pregiba (infleksija).
  2. Stvari s kojima još imam teškoća? Prisjećanje koja je funkcija konkavna, a koja konveksna. Naime, nije toliko intuitivno kao u fizici (konkavna leća je ona u koju se može uliti kava :) ).
  3. Strategija koja mi pomaže riješiti problem? Nacrtam si zadanu funkciju te tangentu i iz nacrtanog zaključim o kakvoj je funkciji riječ.
Marko
Zadaća
Written by Marko on 02.04.2020.

Naučio sam kako odrediti gdje je funkcija konveksna, a gdje konkavna te kako naći točku u kojoj se prijelaz događa. Ne mogu (i vjerojatno niti neću) zapamtiti koji je uvjet za konkavnu, a koji za konveksnu funkciju pogotovo zato što je u fizici obrnuto a za to mi je trebalo mjesec dana.

Neva
Domaća zadaća
Written by Neva on 02.04.2020.

Naučila sam što znači da je funkcija konkavna, tj. konveksna, kako se određuje konkavnost i konveksnost funkcije te što je točka infleksije. Imam problema s pamćenjem kada je funkcija konkavna ili konveksna (nije mi intuitivno) i ponekad griješim u derivaciji drugog reda (pogriješim predznak i sl.). Strategija koja mi pomaže: ako si trebam vizualizirati funkciju, pomaže mi kada nacrtam funkciju i tangentu u sketchpadu.

Karlo
DZ
Written by Karlo on 01.04.2020.

Naučio sam kako odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti, kako odrediti točku pregiba i kada ona postoji i što to uopće je konkavna i konveksna funkcija. Još trebam naučiti kada je graf konkavan, a kada konveksan i što o tome govori koji predznak druge derivacije. To mi još nije intuitivno, ali mogu do toga doći tako da gledam krivulje kao ogledala odozdo. Za rješavanje zadataka koristim se navedenim postupkom.

nikola.socec
Konveksnost i konkavnost
Written by nikola.socec on 01.04.2020.

Naučio sam:
što su konkavne i konveksne funkcije
da druga derivacija funkcije govori o njezinoj konkavnosti ili konveksnosti
neke latex izraze

Imao sam teškoća s:
derivacijom kompleksnijih funkcija (dugo traje)
određivanjem znači li pozitivna vrijednost druge derivacije da je funkcija konkavna ili konveksna (svaki put moram vizualizirati)

Moja strategija za rješavanje problema:
vizualiziram neku krivulju sličnu paraboli te na njoj jednu točku (zajedno s tangentom na graf u toj točki) koju pomičem u smjeru apscise i vidim da se tangenta naginje sve više prema gore, što znači da je njezina derivacija pozitivna. Na kraju pogledam koju sam krivulju vizualizirao i provjerim je li konkavna ili konveksna (konveksna je).

nikola.socec
Konveksnost i konkavnost (ispravak)
Written by nikola.socec on 01.04.2020.

Ispričavam se ako je ovaj reply dupliciran. Prošli nije reagirao.

Svaki newline iz originalnog komentara je postao razmak. Šaljem verziju gdje su zamijenjeni ||.

SNovak Admin
Written by SNovak on 01.04.2020.

Promijenio sam neke postavke za komentare (uključio Markdown) i napravio edit orginalnog komentara da bude kako je zamišljeno. Sada bi trebalo biti bolje.