Neke GeoGebra naredbe i primjena u nastavi
20.06.2019. - Reading time: 20 minutes
GeoGebra je program dinamičke matematike. Osim geometrije može interaktivno odrađivati algebru, analizu, vjerojatnost, statistiku, proračunske tablice… . GeoGebra naredbe dodatno proširuju mogućnosti ovog programa te ga čine moćnim alatom, između ostalog, i za primjenu u nastavi. U ovom članku istražiti ćemo mogućnosti GeoGebra naredbi kroz naredbu Sequence i Turtle te njihove moguće primjene u nastavi matematike i informatike.
Svi alati u GeoGebri, odnosno objekti koje oni stvaraju, mogu se izvesti naredbama, ali postoje naredbe koje se ne mogu izvesti alatima. Svaka naredba ima svoju sintaksu. Naredbe se unose u polje za unos (Input) te pokreću pritiskom na tipku enter.
Napomena: Program Geogebra je u potpunosti preveden na hrvatski jezik kao i GeoGebra naredbe, ali u ovome članku ćemo zbog praktičnosti i pokrivenosti dokumentacijom koristiti program i naredbe na engleskom jeziku.
Sequence naredba (Niz naredba)
Naredba Sequence generira listu koja sadrži niz s određenom početnom i krajnjom vrijednosti. Liste u GeoGebri mogu sadržavati sve objekte koji su definirani u GeoGebri ( brojeve, točke, funkcije, mnogokute…) te naredbom Sequence može izrađivati nizove svih tih objekata. Promotrimo različite oblike naredbe Sequence:
Sequence(<Krajnja vrijednost>)
Izraditi će listu cijelih brojeva od 1 do krajnje vrijednosti. Na primjer:
Sequence(4) izraditi će listu {1, 2, 3, 4}.
2^Sequence(4) izraditi će listu {2, 4, 8, 16}.
Sequence(<Početna vrijednost >, <Krajnja vrijednost>)
Izraditi će listu cijelih brojeva od početne do krajnje vrijednosti. Na primjer:
Sequence(7,13) izradit će listu {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.
Sequence(18,14) izradit će listu {18, 17, 16, 15, 14}.
Sequence(-4, 4) izradit će listu {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Sequence(<Izraz>, <Varijabla>, <Početna vrijednost >, <Krajnja vrijednost>)
Izraditi će listu koristeći dani izraz i varijablu koja se kreće od početne do krajnje vrijednosti. Na primjer:
Sequence((2, k), k, 1, 5) izradit će listu točaka čija y-koordinata se kreće od 1 do 5 : {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
Sequence(<Izraz>, <Varijabla>, <Početna vrijednost >, <Krajnja vrijednost>, <Povečanje>)
Izraditi će listu koristeći dani izraz i varijablu koja se kreće od početne do krajnje vrijednosti te povećava za zadano povećanje. Na primjer:
Sequence((2, k), k, 1, 3, 0.5) izradit će listu točaka čija y-koordinata se kreće od 1 do 3 s povećanjem od 0.5: {(2, 1), (2, 1.5), (2, 2), (2, 2.5), (2, 3)}
Primjer 1. Grafički prikaz niza
Naredbom Sequence možemo generirati prvih nekoliko članova niza zadanog općim članom. Budući da je niz funkcija definirana na prirodnim brojevima, možemo vrijednosti ucrtati u koordinati sustav. Naredbu trebamo postaviti tako da generira listu točaka oblika \((n,a_n)\).
Na primjer, za niz s općim članom \(a_n=\frac{3n}{n+1}\), naredba glasi:
Sequence((n, (3n) / (n + 1)), n, 1, 10)
te izrađuje listu točaka {(1, 1.5), (2, 2), (3, 2.25), (4, 2.4), (5, 2.5), (6, 2.57), (7, 2.63), (8, 2.67), (9, 2.7), (10, 2.73)} koje se zatim prikazuju u koordinatnom sustavu.
Ili niz \(b_n = \frac{3^n}{n!}\) s naredbom Sequence((n, 3^n / n!), n, 1, 10) koja generira listu točaka {(1, 3), (2, 4.5), (3, 4.5), (4, 3.38), (5, 2.03), (6, 1.01), (7, 0.43), (8, 0.16), (9, 0.05), (10, 0.02)} te ih prikazuje u koordinatnom sustavu.
Dakle, naredbom Sequence možemo na brz način dobiti grafički prikaz niza zadanog općim članom te pomoći učenicima u vizualizaciji nizova, ali i oni mogu sami istraživati ponašanje nizova, uočavati pravilnosti, te si olakšati rješavanje zadataka.
Za rekurzivno zadane nizove nisam uspio pronaći dovoljno intuitivan način grafičkog prikaza naredbama. Za te nizove lakše je iskoristiti Spreadsheets funkcionalnost Geogebre (Proračunske tablice) koja GeoGebri daje mogućnosti vrlo slične programu MS Excel. Ipak, prikazat ćemo jedan takav primjer uz pomoć naredbe
Iteration(<Funkcija>, <Početna vrijednost>, <Broj iteracija>)
koja iterira danu funkciju s obzirom na početnu vrijednost zadani broj puta.
Uzmimo rekurzivno zadani niz \(a_{n+1}= \frac{a_n+5}{2} \) te \(a_1=1\). Opet generiramo niz točaka, ali sada umjesto općeg člana niza koristimo naredbu Iteration.
Sequence((n, Iteration((x + 5) / 2, 1, n)), n, 1, 10)
Dobivamo listu točaka {(1, 3), (2, 4), (3, 4.5), (4, 4.75), (5, 4.88), (6, 4.94), (7, 4.97), (8, 4.98), (9, 4.99), (10, 5)}.
Budući da naredba Iteration može primiti samo funkciju bez dodatnih varijabli, rekurzivni niz kao na primjer \(a_{n+1}= a_n+2n+1\) nije moguće prikazati na ovaj način.
Primjer 2. Dijeljenje dužine na jednake dijelove
Naredbom Sequence možemo podijeliti dužinu na dijelove bez dodatnih konstrukcija i bez upotrebe dodatnih alata.
Neka je zadana dužina \(\overline{AB}\), koju želimo podijeliti na n jednakih dijelova te neka točka A ima koordinate \((a_x,a_y)\), a točka B koordinate \((b_x,b_y)\). Dakle, tražimo niz od n točaka s koordinatama \(\left(a_x+\frac{b_x-a_x}{n}, a_y+\frac{b_y-a_y}{n}\right), \) \( \left(a_x+\frac{b_x-a_x}{n} \cdot 2, a_y+\frac{b_y-a_y}{n} \cdot 2 \right), …,\) \( \left(a_x+\frac{b_x-a_x}{n} \cdot (n-1), a_y+\frac{b_y-a_y}{n} \cdot (n-1) \right) \).
Na primjer ako zadanu dužinu \(\overline{AB}\) želimo podijeliti na 5 jednakih dijelova :
Sequence(A + ((B - A) / 5)k, k, 1, 4)
Ovaj primjer daje, po mojem mišljenju, zanimljivu alternativu dijeljenju dužine na jednake dijelove u Geogebri korištenjem svojstava aritmetičkog niza.
Primjer 3. Crtanje mreže točaka
Prilikom crtanja u GeoGebri često nam je potreba pomoćna mreža točaka. Slično kao u prethodnom primjeru, to možemo ostvariti naredbom Sequence. Naredbu Sequence možemo shvatiti kao For petlju ,a mrežu točaka kao višedimenzionalno polje (matricu) u programiranju. Po toj analogiji naredba za crtanje mreže točaka dimenzije 10 x 10 glasi:
Sequence(Sequence((i, j), i, 1, 10), j, 1, 10)
te kao rezultat daje listu točaka {(1,1), (1,2), (1,3),… , (10,9), (10,10)}.
Primjer 4. Niz pravilnih mnogokuta
Budući da u listu možemo stavljati i geometrijske likove, naredba Sequence može nam pomoći u crtanju većeg broja likova.
Na primjer koristeći naredbu za crtanje pravilnih mnogokuta :
Polygon(<Točka>, <Točka>, <Broj vrhova>)
koja crta pravilan mnogokut s obzirom na dvije zadane točke te broj vrhova.
Nacrtajmo niz mnogokuta povećavajući broj vrhova te postavimo koordinate točaka tako da se mnogokuti međusobno ne preklapaju.
Sequence(Polygon((3k, 0), (3k + 1, 0), k), k, 3, 9)
Dobivamo listu mnogokuta, gdje su mnogokuti reprezentirani svojim površinama {0.43, 1, 1.72, 2.6, 3.63, 4.83, 6.18}.
Na sličan način možemo nacrtati niz grafova funkcija. Na primjer za \(f(x)=x^n\) naredba
Sequence(x^n, n, 1, 6)
će izraditi listu {x^1,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6}.
Na ovaj način učenici mogu sami istraživati veze između različitih likova, grafova, … Nastavnicima može ubrzati crtanje kod priprema nastavnih materijala.
Primjer 5. Alternativa za trag
Objekti u GeoGebri imaju mogućnost ostavljanja traga prilikom animacije kako bi mogli pratiti njihov položaj. Budući da je trag niz točaka ili dugih objekata, sličan efekt možemo ostvariti naredbom Sequence.
Nacrtajmo parabolu kao skup svih točaka jednako udaljenih od zadane točke A i zadanog pravca tako da nacrtamo simetrale dužina koje povezuju točku A i određene točke na pravcu.
Pritom koristimo naredbu PerpendicularBisector(<Točka >, <Točka>) koja radi isto što i istoimeni alat. Neka se točka A nalazi na pozitivnom dijelu x-osi tada će ravnalica biti pravac okomit na x-os, sada imamo :
Sequence(PerpendicularBisector(A, (0, k)), k, -50, 50)
Izvršavanjem ove naredbe dobivamo listu pravaca koji će u koordinatnom sustavu oblikovati parabolu.
Neke naredbe za rad s listama
Budući da naredba Sequence generira listu pogledajmo još neke naredbe koje nam mogu pomoći u radu s listama:
Element(<lista>, <pozicija elementa>) Daje traženi elementa liste.
Append(<lista>, <objekt>) Dodaje objekt u listu.
Sort(<list>) Sortira listu s obzirom na tip podataka u listi. Itd.
Turtle (Kornjača) naredba
Naredba Turtle stvara kornjaču u središtu koordinatnog sustava, čijim kretanjem možemo upravljati pomoću odgovarajućih naredbi. Ovime možemo u GeoGebri ostvariti funkcionalnost sličnu upravljanju kornjačom u programskom jeziku za edukaciju Logo.
Naredbe za kontrolu kornjače:
TurtleForward(<Kornjača>, <udaljenost>)
Pomiče kornjaču za danu udaljenost prema naprijed.
TurtleBack(<Kornjača>, <udaljenost>)
Pomiče kornjaču za danu udaljenost prema natrag.
TurtleLeft(<Kornjača>, <kut>)
Rotira kornjaču (skreće) za dani kut prema lijevo.
TurtleRight(<Kornjača>, <kut>)
Rotira kornjaču (skreće) za dani kut prema desno.
TurtleDown(<Kornjača>)
Kornjača počinje ostavljati trag (pisati).
TurtleUp(<Kornjača>)
Kornjača prestaje ostavljati trag (pisati).
Kako bi se kornjača počela kretati potrebno je pokrenuti animacije pritiskom na tipku Play.
Koristeći dane naredbe nacrtajmo kvadrat upravljajući kornjačom.
t = Turtle()
TurtleForward(t, 1)
TurtleLeft(t, 90°)
TurtleForward(t, 1)
TurtleLeft(t, 90°)
TurtleForward(t, 1)
TurtleLeft(t, 90°)
TurtleForward(t, 1)
Primjetimo da ovaj postupak možemo skratiti u jednu naredbu ako koristimo naredbu Repeat
Repeat(<broj>, <naredba>, <naredba>, ...)
koja ponavlja određene naredbe zadani broj puta, pa sada imamo:
Repeat(4, TurtleForward(t, 1), TurtleLeft(t, 90° ))
Inspirirani naredbom Sequence, nacrtajmo niz kvadrata, tako da je svaki sljedeći kvadrat veći od prethodnog. Uvedimo varijablu a koju ćemo povećavati korištenjem naredbe:
SetValue(<varijabla>, <vrijednost>)
Ponovimo prethodnu naredbu četiri puta kako bi nacrtali četiri kvadrata tako da svakom sljedećem povećamo duljinu stranica za jedan.
a=1
Repeat(4, Repeat(4, TurtleForward(t, c), TurtleLeft(t, 90°)), SetValue(a, a+1))
Naredba Turtle i set naredbi za upravljanje kornjačom mogu poslužiti kao jako dobar uvod u programiranje te za prve „programerske korake“ kod učenika. Za to mogu koristiti GeoGebru kao alat s kojim su možda već upoznati i u kojem znaju raditi.
Zaključak
GeoGebra naredbe omogućuju „programerski“ pogled na rad u GeoGebri, ali isto tako nam omogućuju izradu i rad s objektima na način na koji to nije moguće standardnim alatima. Ubrzavaju i pojednostavljuju postupak koji bi trebali izvesti sa standardnim alatima. To smo vidjeli na primjeru naredbe Sequence. Također naredbe proširuju mogućnosti GeoGebre te ona ne treba biti nužno samo program za dinamičku geometriju kao što smo vidjeli na primjeru naredbe Turtle.
Literatura
Chrissterson, M. (12.12.2015.) Lists (Blog post) Pribavljeno 12.06.2018. s http://www.malinc.se/math/geogebra/listsen.php
Dakić, B. i Elezović, N. (2009.) Matematika 4, Zagreb: Element
Geogebra Commands (n.d.) Geogebra Wiki Pribavljeno 12.06.2018. s https://wiki.geogebra.org/en/Commands
Svi primjeri izrađeni su u programu GeoGebra Classic 5.0.466.0-d (17.5.2018.)
Citiraj
Novak, Siniša (20.06.2019.). Neke geogebra naredbe i primjena u nastavi. Sustav. Preuzeto s https://sustav.sino.com.hr/neke-geogebra-naredbe ()